正規分布

正規分布(std::normal_distribution<RealType>)

std::normal_distribution<RealType>は浮動小数点数型の乱数$x$を以下の確率密度関数に従って分布する。

$$(x|\mu ,\sigma )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\cdot \exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})\text{ .}$$

分布パラメーターのうちの$\mu$と$\sigma$は、それぞれ分布の平均(mean)、標準偏差(standard deviation)とも呼ばれている。

変数の宣言:

std::normal_distribution<RealType> d( mean, stddev ) ;

RealTypeは浮動小数点数型でデフォルトはdouble。mean, stddevは浮動小数点数型。meanは平均。stddevは標準偏差で値の範囲は$0<\text{stddev}$。

使い方:

int main()
{
    std::mt19937 e ;
    std::normal_distribution d( 0.0, 1.0 ) ;
    d.mean() ; // 0.0
    d.stddev() ; // 1.0

    for ( int i = 0 ; i != 10 ; ++i )
    {
        std::cout << d(e) << ", "sv ;
    }  
}

対数正規分布(std::lognormal_distribution<RealType>)

std::lognormal_distribution<RealType>は浮動小数点数の乱数$x>0$を以下の確率密度関数に従って分布する。

$$p(x|m,s)=\frac{1}{sx\sqrt{2\pi }}\cdot \exp (-\frac{(\ln x-m{)}^2}{2s^2})\text{ .}$$

変数の宣言:

std::lognormal_distribution<RealType> d( m, s ) ;

RealTypeは浮動小数点数型でデフォルトはdouble。m, sはRealType型。値の範囲は$0<s$。

使い方:

int main()
{
    std::mt19937 e ;
    std::lognormal_distribution d( 0.0, 1.0 ) ;
    d.m() ; // 0.0
    d.s() ; // 1.0

    for ( int i = 0 ; i != 10 ; ++i )
    {
        std::cout << d(e) << ", "sv ;
    }  
}

カイ二乗分布(std::chi_squared_distribution<RealType>)

std::chi_squared_distribution<RealType>は浮動小数点数型の乱数$x>0$を以下の確率密度関数に従って分布する。

$$p(x|n)=\frac{x^{(n/2)-1}\cdot e^{-x/2}}{\mathrm{\Gamma }(n/2)\cdot 2^{n/2}}\text{ .}$$

変数の宣言:

std::chi_squared_distribution<RealType> d( n ) ;

RealTypeは浮動小数点数型でデフォルトはdouble。nはRealType型。値の範囲は$0<n$。

使い方:

int main()
{
    std::mt19937 e ;
    std::chi_squared_distribution d( 1.0 ) ;
    d.n() ; // 1.0

    for ( int i = 0 ; i != 10 ; ++i )
    {
        std::cout << d(e) << ", "sv ;
    }  
}

コーシー分布(std::cauchy_distribution<RealType>)

std::cauchy_distribution<RealType>は浮動小数点数型の乱数$x$を以下の確率密度関数に従って分布する。

$$p(x|a,b)={\left(\pi b(1+{\left(\frac{x-a}{b}\right)}^2)\right)}^{-1}\text{ .}$$

変数の宣言:

std::cauchy_distribution<RealType> d( a, b ) ;

RealTypeは浮動小数点数型でデフォルトはdouble。a, bはRealType型。値の範囲は$0<b$。

使い方:

int main()
{
    std::mt19937 e ;
    std::chi_squared_distribution d( 0.0, 1.0 ) ;
    d.a() ; // 0.0
    d.b() ; // 1.0

    for ( int i = 0 ; i != 10 ; ++i )
    {
        std::cout << d(e) << ", "sv ;
    }  
}

フィッシャーの$F$分布(std::fisher_f_distribution<RealType>)

フィッシャーの$F$分布(Fisher's $F$-distribution)の名前は数学者サー・ロナルド・エイルマー・フィッシャー(Sir Ronald Aylmer Fisher)に由来する。

std::fisher_f_distribution<RealType>は浮動小数点数の乱数$x>0$を以下の関数密度関数に従って分布する。

$$p(x|m,n)=\frac{\mathrm{\Gamma }((m+n)/2)}{\mathrm{\Gamma }(m/2)\mathrm{\Gamma }(n/2)}\cdot {\left(\frac{m}{n}\right)}^{m/2}\cdot x^{(m/2)-1}\cdot {(1+\frac{mx}{n})}^{-(m+n)/2}\text{ .}$$

変数の宣言:

std::fisher_f_distribution<RealType> d( m, n ) ;

RealTypeは浮動小数点数型でデフォルトはdobule。m, nはRealType型。値の範囲は$0<m$ かつ $0<n$。

使い方:

int main()
{
    std::fisher_f_distribution d( 1.0 ) ;
    d.n() ; // 1.0

    std::mt19937 e ;
    d(e) ;
}

スチューデントの$t$分布(std::student_t_distribution<RealType>)

スチューデントの$t$分布(Student's $t$-distribution)はウィリアム・シーリー・ゴセット(William Sealy Gosset)によって考案された。当時、ウィリアムはギネス醸造所で働いていたが、ギネスは従業員に科学論文を発表することを禁じていたために、ウィリアムはスチューデントという偽名で発表した。

std::student_t_distribution<RealType>は浮動小数点数型の乱数$x$を以下の確率密度関数に従って分布する。

$$p(x|n)=\frac{1}{\sqrt{n\pi }}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }((n+1)/2)}{\mathrm{\Gamma }(n/2)}\cdot {(1+\frac{x^2}{n})}^{-(n+1)/2}\text{ .}$$

変数の宣言:

std::student_t_distribution<RealType> d( n ) ;

RealTypeは浮動小数点数型でデフォルトはdouble。nはRealType型で、値の範囲は$0<n$。

使い方:

int main()
{
    std::student_t_distribution d( 1.0 ) ;
    d.n() ; // 1.0

    std::mt19937 e ;
    d(e) ;
}